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取整函数的性质

100次浏览     发布时间:2024-09-07 10:36:54    

取整函数

我想,所有人都见过高斯函数[x]吧,它表示不超过x的最大整数。其实,高斯函数还有个同胞兄弟,要是它冒出来,更能吓死一帮高三党。哈哈

先给个定义冒下泡。

=小于或等于x的最大整数,称为下取整函数


=大于或等于x的最小整数,称为上取整函数

蒙了没?蒙了吧。看几个例子醒醒脑。

嗯,似乎大脑有点回过味来了,这两个函数,下取整函数

就是我们的老朋友高斯函数[x],而上取整不过是它的孪生兄弟罢了。

研究一个函数的最好办法,就是先作出函数图像。

从图像中我们可以看出一些性质。

显然,下取整函数

在y=x上或之下,上取整函数

正好相反,它在y=x上或之上,因此,第一条性质诞生了:

当然,等号成立的条件是为整数,因此,我们得到显然的第二条性质:

从图像我们也很容易得出,(不显然但容易),当x不是整数时,上取整比下取整大1。

即,第三条性质

如果我们将对角线y=x向下平移一个单位,则它完全位于下取整函数之上,也就是说

,同样我们也可以看出

加上前面的性质,我们可以得到一串不等式,算性质1的推广吧。

最后,我们还能很轻松看出,这两个函数关于原点对称,也就是第四条性质:

下面的一些性质虽然不容易从图像上看出来,但也很容易理解。

实际上只不过是将图像用代数式描述一下而已。

在取整函数中,可以将整数移进或移出函数。上取整也有同样性质。不过要注意的是,只有整数才能进出函数,一般的数,如0.5,是不能进出的。

有的时候,将取整符号去掉是一件让人心情愉悦的事。显然

证明是件轻松的事,我们不赘述。

有时候,我们不仅需要x的整数部分,还需要它的小数部分,那么我们可以这样表达

=x的小数部分

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